Принцип аргумента и критерий устойчивости Михайлова

Критерий Михайлова основан на так называемом принципе аргумента.

Рассмотрим характеристический полином замкнутой системы, который по теореме Безу можно представить в виде

D(p) = a0pn+ a1pn-1+…+ an = a0(p - p1)…(p - pn).

Сделаем подстановку p = jw

(jw) = a0(jw)n+ a1(jw)n-1+…+ an = a0(jw - p1)…(jw - pn) = X(w)+jY(w).

Для конкретного значения w имеет точку на комплексной плоскости, задаваемую параметрическими уравнениями

Если изменять w в диапазоне от -¥ до ¥, то будет прочерчена кривая Михайлова, т. е. годограф. Изучим поворот вектора D(jw) при изменении w от -¥ до ¥, т. е. найдем приращение аргумента вектора (аргумент равен сумме для произведения векторов):

.

При w = - ¥ разностный вектор, начало которого в точке рi, а конец на мнимой оси, направлен вертикально вниз. По мере роста w конец вектора скользит вдоль мнимой оси, а при w = ¥ вектор направлен вертикально вверх. Если корень левый (рис. 2.9.19а), то D arg = +p, а если корень правый, то D arg = -p.

Если характеристическое уравнение имеет m правых корней (соответственно n - m левых), то .

Это и есть принцип аргумента. При выделении действительной части Х(w) и мнимой Y(w) мы отнесли к Х(w) все слагаемые, содержащие jw в четной степени, а к Y(w) - в нечетной степени. Поэтому кривая Михайлова симметрична относительно действительной оси (Х(w) - четная, Y(w) - нечетная функция). В результате, если изменять w от 0 до +¥, то приращение аргумента будет в два раза меньше. В связи с этим окончательно принцип аргумента

формулируется следующим образом . (2.9.29)

Если система устойчива, т.е. m = 0, то получаем критерий устойчивости Михайлова.

По Михайлову для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы

, (2.9.30)

то есть кривая Михайлова должна последовательно проходить через n четвертей против часовой стрелки.

Очевидно, что для применения критерия Михайлова не требуется точного и детального построения кривой. Важно установить, каким образом она огибает начало координат и не нарушается ли последовательность прохождения n четвертей против часовой стрелки.

Пример 2.9.6.

Применить критерий Михайлова для проверки устойчивости системы, показанной на рис.2.9.20.

Характеристический полином замкнутой системы при k1k2 > 0 соответствует устойчивой системе, так условие Стодолы выполняется, а для n = 1 оно достаточно. Можно непосредственно найти корень р1 = - k1k2 и убедиться, что необходимое и достаточное условие устойчивости выполнено. Поэтому применение критерия Михайлова носит иллюстративный характер. Полагая p=jw, получим

D(jw) = X(w)+jY(w),

где Х(w) = ; Y(w) = w .(2.9.31)

По параметрическим уравнениям (2.9.31) построен годограф Михайлова на рис.2.9.21, из которого видно, что при изменении w от 0 до ¥ вектор D(jw) поворачивается против часовой стрелки на +p/2 , т.е. система устойчива.

Критерий устойчивости Найквиста

Как уже было отмечено, критерий Найквиста занимает особое положение среди критериев устойчивости. Это частотный критерий, позволяющий определить устойчивость замкнутой системы по частотным характеристикам разомкнутой. При этом предполагается, что система разомкнута по цепи единичной отрицательной обратной связи (рис.2.9.22).

Интересное из раздела

Исследование блока усилителя промежуточной частоты изображения
Телевизор «Электроника Ц-432» - переносный телевизионный приемник цветного изображения - выпускается в настольном оформлении с различными вариантами отделки кор ...

Проект макета на основе PIC контроллера
Сегодняшний день развития вычислительной техники характеризуется бурным развитием сетевых технологий. При этом, основной упор делается на технологии, позволяющи ...

Программное обеспечение для предварительных испытаний манипулятора грунтозаборного комплекса космического аппарата Фобос-грунт
Важным этапом отработки агрегатов и устройств КА является процесс их испытаний. Современные испытания немыслимы без автоматизации испытаний, наряду с исполь ...