Анализ детерминированных сигналов, применяемых в системах радиолокации

С помощью и можно найти:

, (5)

. (6)

Чтобы функцию можно было представить рядом (4), необходимо сначала определить значения коэффициентов a и b. Это делается следующим образом:

) Чтобы найти а0 проинтегрируем выражение (4) по х на интервале от - π до + π:

2) Для нахождения an, умножим (4) на cos(nx) и проинтегрируем по х на интервале от - π до + π:

3) Чтобы найти bnумножим (4) на sin(nx) и проинтегрируем по х на интервале от - π до + π:

Формулы (7), (8) и (9) дают значения коэффициентов Фурье.

Метод рядов Фурье допускает определенное обобщение, позволяющее получать спектральные характеристики и непериодических сигналов. Среди них для радиотехники интерес представляют импульсные (одиночные) сигналы. Преобразование Фурье является инструментом спектрального анализа непериодических (импульсных) сигналов (их еще называют сигналами конечной длительности, или финитными, т. е. пространственно ограниченными). Такие сигналы отличны от нуля только на ограниченном промежутке времени; иногда говорят, что сигнал существует на конечном временном интервале. Очевидно, что сигнал конечной длительности будет иметь и конечную энергию - если только он, в математическом представлении, не содержит разрывов второго рода (с уходящими в бесконечность ветвями функции).

Для иллюстрации перехода от ряда к интегральному преобразованию Фурье применяют не вполне строгий математически, но зато понятный аналитический подход. В теории спектрального представления непериодических импульсных сигналов используют искусственный прием, мысленно (формально) заменяя одиночные сигналы периодическими с бесконечно большим периодом следования T→∞.

Предположим, что некоторая функция s(t) аналитически описывает одиночный импульсный сигнал конечной длительности (рисунок 1, а). Мысленно дополнив его такими же импульсными сигналами, следующими с некоторым интервалом T (штриховые импульсы на рисунке 1, б), получим периодическую последовательность аналогичных импульсов sn(t) = s(t ± nT).

Рисунок 1 - Непериодические сигналы:

а - одиночный импульс; б - условное периодическое представление

Для того чтобы вне искусственно введенного интервала времени [0…Т] исходный сигнал был равен нулю, необходимо увеличить период повторения этих импульсов. В пределе, при увеличении длительности периода и T→∞, все импульсы уйдут вправо и влево в бесконечность и периодическая последовательность импульсов sn(t) вновь станет одиночным импульсом s(t).

Запишем периодическую функцию

Можно заменить период следования импульсов , тогда

Нетрудно заметить, что при увеличении периода следования импульсов T гармоники располагаются ближе друг к другу по частоте (линейный спектр становится все более плотным), а общий уровень спектральных составляющих становится все меньше. В предельном случае, когда T→∞,равные расстояния между спектральными линиями уменьшатся настолько, что спектр станет сплошным, а амплитуды отдельных спектральных составляющих окажутся бесконечно малыми. При этом частота следования импульсов и превращается в dω,дискретная переменная - в мгновенную (текущую) частоту ω, а сумма трансформируется в интеграл. Периодическая последовательность импульсов sn(t) станет одиночным импульсом s(t), и выражение запишется в виде

Интересное из раздела

Программируемый формирователь последовательности импульсов с цифровой индикацией количества импульсов
Проектируемое устройство в готовом виде представляет собой отдельный прибор, основной функцией которого является формирование последовательности импульсов заданной частот ...

Оборудование аудио и видео
Сейчас весь мир пользуется множеством различных устройств, в разных сферах индустрии. Прогресс не стоит на месте, каждый год, месяц появляются различны ...

Проектирование блока горизонтального отклонения электронно-лучевого осциллографа
Электронно-лучевой осциллограф является наиболее универсальным измерительным прибором, позволяющим исследовать сложные электрические процессы, визуально наб ...