Критерий устойчивости Раусса-Гурвица

Математики Раусс (Англия) и Гурвиц (Швейцария) разработали этот критерий приблизительно в одно время. Отличие заключалось в алгоритме вычислений. Мы познакомимся с критерием в формулировке Гурвица.

По Гурвицу для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы при a0 > 0 определитель Гурвица D = Dn и все его главные миноры D1, D2, ., Dn-1 были строго положительны, т.е.

(2.9.4)

Cтруктура определителя Гурвица легко запоминается, если учесть, что по главной диагонали расположены коэффициенты а1,…,аn, в строчках расположены коэффициенты через один, если они исчерпаны, то свободные места заполняются нулями.

Пример 2.9.2.

Исследовать на устойчивость по Гурвицу систему с единичной отрицательной обратной связью, в прямой цепи которой включены три инерционных звена и, следовательно, передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

(2.9.5)

Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы как сумму числителя и знаменателя (2.9.5):

Следовательно,

Определитель Гурвица и его миноры имеют вид

(2.9.6)

с учетом a0 > 0 из строгой положительности определителя Гурвица и миноров (2.9.6) вытекает условие Стодолы и, кроме того, условие a1 a2 - a0 a3 > 0, что после подстановки значений коэффициентов дает

(Т1Т2+ Т1Т3+Т2Т3)(Т1+Т2+Т3)>Т1Т2Т3(1+k). (2.9.7)

Отсюда видно, что при увеличении k система из устойчивой может превратиться в неустойчивую, так как неравенство (2.9.7) перестанет выполняться.

Передаточная функция системы по ошибке равна

(2.9.8)

Согласно теореме о конечном значении оригинала установившаяся ошибка отработки единичного ступенчатого сигнала будет равна 1/(1+k). Следовательно, обнаруживается противоречие между устойчивостью и точностью. Для уменьшения ошибки надо увеличивать k, но это приводит к потере устойчивости.

Интересное из раздела

Обзор современных систем спутниковой навигации
спутниковая навигационная глобальное позиционирование На сегодняшний день в мире существует несколько навигационных систем, использующих искусственные спутни ...

Шлюз ZigBee и GPRS
Беспроводные сенсорные сети получили большое развитие в последнее время. Такие сети, состоящие из множества миниатюрных узлов, оснащенных маломощным приемо- ...

Проект кабельной линии
Железнодорожная сеть представляет собой единую, работающую по общему плану систему, части которой взаимодействуют друг с другом. Работа всех звеньев министе ...