Математики Раусс (Англия) и Гурвиц (Швейцария) разработали этот критерий приблизительно в одно время. Отличие заключалось в алгоритме вычислений. Мы познакомимся с критерием в формулировке Гурвица.
По Гурвицу для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы при a0 > 0 определитель Гурвица D = Dn и все его главные миноры D1, D2, ., Dn-1 были строго положительны, т.е.
(2.9.4)
Cтруктура определителя Гурвица легко запоминается, если учесть, что по главной диагонали расположены коэффициенты а1,…,аn, в строчках расположены коэффициенты через один, если они исчерпаны, то свободные места заполняются нулями.
Пример 2.9.2.
Исследовать на устойчивость по Гурвицу систему с единичной отрицательной обратной связью, в прямой цепи которой включены три инерционных звена и, следовательно, передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
(2.9.5)
Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы как сумму числителя и знаменателя (2.9.5):
Следовательно,
Определитель Гурвица и его миноры имеют вид
(2.9.6)
с учетом a0 > 0 из строгой положительности определителя Гурвица и миноров (2.9.6) вытекает условие Стодолы и, кроме того, условие a1 a2 - a0 a3 > 0, что после подстановки значений коэффициентов дает
(Т1Т2+ Т1Т3+Т2Т3)(Т1+Т2+Т3)>Т1Т2Т3(1+k). (2.9.7)
Отсюда видно, что при увеличении k система из устойчивой может превратиться в неустойчивую, так как неравенство (2.9.7) перестанет выполняться.
Передаточная функция системы по ошибке равна
(2.9.8)
Согласно теореме о конечном значении оригинала установившаяся ошибка отработки единичного ступенчатого сигнала будет равна 1/(1+k). Следовательно, обнаруживается противоречие между устойчивостью и точностью. Для уменьшения ошибки надо увеличивать k, но это приводит к потере устойчивости.
Анализ и синтез САУ методом корневого годографа
- Изучение системы автоматического регулирования (САР).
- Оценка качеств, характеристик САР
(устойчивости, ошибки, переходного процесса) по различн ...
Проектирование зеркальных антенн для индивидуального приема спутниковых программ
Наибольший интерес в настоящее время представляет прием
телевидения в диапазоне 11…12 ГГц, для которого наиболее применимы
параболические антенны, так как п ...
Цифровой показатель уровня топлива
Топливомер - прибор, измеряющий объемное или весовое количество топлива или масла в баках. Как правило, непосредственное измерение количества топлива крайне затруднено, п ...