По заданным корням характеристического уравнения записать общее решение однородного дифференциального уравнения, определить , указать расположение корней на плоскости и по их расположению отметить х

, ,

Общее решение дифференциального уравнения находим по формуле

,

где - постоянные интегрирования, - корни характеристического уравнения - алгебраического уравнения, которое характеризует общее решение дифференциального уравнения.

определим по формуле:

В понятие устойчивости системы входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса. Устойчивость линейной системы определяется только характеристическим уравнением и его корнями.

Корни характеристического уравнения:

. Вещественный корень.

а)

б)

Кривая переходного процесса по экспоненте монотонно возрастает (убывает). Характер переходного процесса монотонный.

. Комплексные корни. Попарно сопряженные корни

,

,

где - постоянные интегрирования; - круговая частота колебаний; - показатель затухания - определяет затухание огибающей к кривой переходного процесса.

а)

Колебания переходного процесса затухающие.

б)

Колебания переходного процесса расходящиеся.

Характер переходного процесса немонотонный (колебательный).

. Чисто мнимые корни (корни с нулевой вещественной частью)

,

Колебания переходного процесса с постоянной амплитудой.

Характер переходного процесса немонотонный (колебательный)

Система будет называться устойчивой, если с течением времени при переходная составляющая будет стремиться к нулю:

Для затухания переходного процесса необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели строго отрицательные вещественные части, т.е. Repi < 0, i = 1…n.

Для наглядности корни характеристического уравнения принято изображать на комплексной плоскости рис.2.9.1а. При выполнении необходимого и достаточного условия все корни лежат слева от мнимой оси, т.е. в области устойчивости.

Поэтому условие (2.9.2) можно сформулировать следующим образом.

Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения располагались в левой полуплоскости.

Интересное из раздела

Шагающий аппарат
Одной из важных разновидностей роботов являются шагающие роботы, предназначенные для перемещения по труднопроходимой местности. В отличие от к ...

Комплекс аппаратных средств для трансляции звукового сигнала на большие расстояния
Звук играет важную роль в жизнедеятельности человека. Каждый день мы слышим очень много разнообразных звуков, так же существует необходимость передават ...

Автоматизированная система учета энергоресурсов
Вследствие роста тарифов на энергоресурсы, потребляемые населением (газ, вода, электроэнергия), встает вопрос о необходимости оперативного и достоверного контро ...