,
,
Общее решение дифференциального уравнения находим по формуле
,
где - постоянные интегрирования,
- корни характеристического уравнения
- алгебраического уравнения, которое характеризует общее решение дифференциального уравнения.
определим по формуле:
В понятие устойчивости системы входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса. Устойчивость линейной системы определяется только характеристическим уравнением и его корнями.
Корни характеристического уравнения:
. Вещественный корень.
а)
б)
Кривая переходного процесса по экспоненте монотонно возрастает (убывает). Характер переходного процесса монотонный.
. Комплексные корни. Попарно сопряженные корни
,
,
где - постоянные интегрирования;
- круговая частота колебаний;
- показатель затухания - определяет затухание огибающей к кривой переходного процесса.
а)
Колебания переходного процесса затухающие.
б)
Колебания переходного процесса расходящиеся.
Характер переходного процесса немонотонный (колебательный).
. Чисто мнимые корни (корни с нулевой вещественной частью)
,
Колебания переходного процесса с постоянной амплитудой.
Характер переходного процесса немонотонный (колебательный)
Система будет называться устойчивой, если с течением времени при переходная составляющая
будет стремиться к нулю:
Для затухания переходного процесса необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными.
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели строго отрицательные вещественные части, т.е. Repi < 0, i = 1…n.
Для наглядности корни характеристического уравнения принято изображать на комплексной плоскости рис.2.9.1а. При выполнении необходимого и достаточного условия все корни лежат слева от мнимой оси, т.е. в области устойчивости.
Поэтому условие (2.9.2) можно сформулировать следующим образом.
Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения располагались в левой полуплоскости.
Расчет характеристик сигналов и каналов связи
На
современном этапе развития перед железнодорожным транспортом стоят задачи по
увеличению пропускной и провозной способности, грузовых и пассажирск ...
Автоматическая система управления
В настоящее время широко используются микропроцессорные устройства и системы. Их назначение и область применения очень велика. Так, различного рода микропроцессорные сист ...
Программируемый формирователь последовательности импульсов с цифровой индикацией количества импульсов
Проектируемое устройство в готовом виде представляет собой отдельный прибор, основной функцией которого является формирование последовательности импульсов заданной частот ...