Условие получено словацким математиком Стодолой в конце 19-го столетия. Оно интересно в методическом плане для понимания условий устойчивости системы.
Запишем характеристическое уравнение системы в виде
D(p) = a0pn + a1pn-1 +…an= 0. (2.9.3)
По Стодоле для устойчивости необходимо, но недостаточно, чтобы пpи a0 > 0 все остальные коэффициенты были строго положительны, т.е.
a1 > 0, ., an > 0.
Необходимость
можно сформировать так:
Если система устойчива, то все корни характеристического уравнения имеют , т.е. являются левыми.
Доказательство необходимости элементарное. По теореме Безу характеристический полином можно представить в виде
.
Пусть , т.е действительное число, а
- комплексно-сопряженные корни. Тогда
…
Отсюда видно, что в случае полинома с действительными коэффициентами комплексные корни попарно-сопряженные. При этом, если
,
, то имеем произведение многочленов с положительными коэффициентами, которое дает многочлен только с положительными коэффициентами.
Недостаточность
условия Стодолы заключается в том, что условие не гарантирует, что все
. В этом можно убедиться на конкретном примере, рассмотрев полином степени
.
Заметим, что в случае условие Стодолы одновременно необходимо и достаточно. Из
вытекает
. Если
, то и
, чтобы
.
Для из анализа формулы корней квадратного уравнения также вытекает достаточность условия.
Из условия Стодолы вытекает два важных следствия.
1. Если условие выполняется, а система неустойчива, то переходный процесс имеет колебательный характер. Это следует из того, что уравнение с положительными коэффициентами не может иметь действительных положительных корней. По определению корень - это число, обращающее характеристический полином в нуль. Никакое положительное число не может обратить в нуль многочлен с положительными коэффициентами, то есть быть его корнем.
2. Положительность коэффициентов характеристического полинома (соответственно выполнение условия Стодолы) обеспечивается в случае отрицательной обратной связи, т.е. в случае нечетного числа инверсий сигнала по замкнутому контуру. В этом случае характеристический полином . В противном случае имели
и после приведения подобных некоторые коэффициенты могли оказаться отрицательными.
Заметим, что отрицательная обратная связь не исключает возможности невыполнения условия Стодолы. Например, если , а
, то в случае единичной отрицательной обратной связи
. В данном полиноме коэффициент при
равен нулю. Отрицательных коэффициентов нет, но, тем не менее, условие не выполняется, так как оно требует строго выполнения неравенств
.
Это подтверждает и следующий пример.
Пример 2.9.1.
Применить условие Стодолы к схеме рис. 2.9.2.
Передаточная функция разомкнутой по цепи единичной отрицательной обратной связи системы равна и характеристическое уравнение замкнутой системы есть сумма числителя и знаменателя, т. е.
Установка акустической системы в автомобиль Honda Civic
Еще недавно желание иметь в
автомобиле аудиосистему класса НІ-FІ расценивалось большинством окружающих в
лучшем случае как бездумная трата денег. Однако для ...
Cинтез инвертирующего усилителя
Операционные усилители в настоящее время находят широкое применение при
разработке различных аналоговых и импульсных электронных устройств. Это связано
с те ...
Исследование и расчет двухполюсников и четырехполюсников
В соответствии с заданием сопротивления ДП, входящих в
исследуемый ЧП, имеют следующий вид, Ом:
Z1(p) = , (1.1)
Z2(p) = , ...