Условие Стодолы

Условие получено словацким математиком Стодолой в конце 19-го столетия. Оно интересно в методическом плане для понимания условий устойчивости системы.

Запишем характеристическое уравнение системы в виде

D(p) = a0pn + a1pn-1 +…an= 0. (2.9.3)

По Стодоле для устойчивости необходимо, но недостаточно, чтобы пpи a0 > 0 все остальные коэффициенты были строго положительны, т.е.

a1 > 0, ., an > 0.

Необходимость

можно сформировать так:

Если система устойчива, то все корни характеристического уравнения имеют , т.е. являются левыми.

Доказательство необходимости элементарное. По теореме Безу характеристический полином можно представить в виде

.

Пусть , т.е действительное число, а - комплексно-сопряженные корни. Тогда

…

Отсюда видно, что в случае полинома с действительными коэффициентами комплексные корни попарно-сопряженные. При этом, если , , то имеем произведение многочленов с положительными коэффициентами, которое дает многочлен только с положительными коэффициентами.

Недостаточность

условия Стодолы заключается в том, что условие не гарантирует, что все . В этом можно убедиться на конкретном примере, рассмотрев полином степени .

Заметим, что в случае условие Стодолы одновременно необходимо и достаточно. Из вытекает . Если , то и , чтобы .

Для из анализа формулы корней квадратного уравнения также вытекает достаточность условия.

Из условия Стодолы вытекает два важных следствия.

1. Если условие выполняется, а система неустойчива, то переходный процесс имеет колебательный характер. Это следует из того, что уравнение с положительными коэффициентами не может иметь действительных положительных корней. По определению корень - это число, обращающее характеристический полином в нуль. Никакое положительное число не может обратить в нуль многочлен с положительными коэффициентами, то есть быть его корнем.

2. Положительность коэффициентов характеристического полинома (соответственно выполнение условия Стодолы) обеспечивается в случае отрицательной обратной связи, т.е. в случае нечетного числа инверсий сигнала по замкнутому контуру. В этом случае характеристический полином . В противном случае имели и после приведения подобных некоторые коэффициенты могли оказаться отрицательными.

Заметим, что отрицательная обратная связь не исключает возможности невыполнения условия Стодолы. Например, если , а , то в случае единичной отрицательной обратной связи . В данном полиноме коэффициент при равен нулю. Отрицательных коэффициентов нет, но, тем не менее, условие не выполняется, так как оно требует строго выполнения неравенств .

Это подтверждает и следующий пример.

Пример 2.9.1.

Применить условие Стодолы к схеме рис. 2.9.2.

Передаточная функция разомкнутой по цепи единичной отрицательной обратной связи системы равна и характеристическое уравнение замкнутой системы есть сумма числителя и знаменателя, т. е.

Интересное из раздела

Расчет спектра и энергетических характеристик сигнала
В последнее десятилетие ХХ века произошла научно-техническая революция в области транспортной связи, в основе которой лежат два крупных достижения науки сер ...

Проектирование автомата подачи звонков
Разработанный автомат подачи звонков удовлетворяет всем требованиям, предъявленным в задании. Настройка автомата производится с помощью трех кнопок: «вверх» ...

Цифровая система автоматического управления
Необходимо спроектировать цифровую систему автоматического управления (ЦСАУ). Система должна принимать сигнал из датчика, который находит в диапазоне 0…24В. Задаю ...