Разделы сайта

Исследование и расчет цепей синусоидального тока

Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону:

где - максимальное значение или амплитуда тока;

- угловая частота

- полная фаза колебания;

- начальная фаза.

Угловая частота , частота и период T связаны соотношением:

Проекция вращающегося против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью вектора на вертикальную ось изменяется во времени по синусоидальному закону. Поэтому любая синусоидальная функция (ток, напряжение, ЭДС) может быть изображена вектором.

При проведении расчета очень удобным оказывается рассмотрение вращающегося вектора на комплексной плоскости. В этом случае вектор можно представить как комплексную амплитуду тока , а сам синусоидально изменяющийся ток I - как мнимую часть произведения комплексной амплитуды на :

Тогда при t=0 можно записать:

синусоидальный переменный ток

На практике широкое распространение получил символический метод расчета цепей синусоидального тока.

Сущность данного метода состоит в том, что при синусоидальном токе можно перейти от дифференциальных уравнений, составленных для мгновенных значений, к алгебраическим, составленным относительно комплексов амплитудных значений тока , напряжения , и ЭДС либо их действующих значений , и . Например, если

то комплексное действующее значение напряжения

где .

Рис. 1 Схема цепи с реактивными элементами

Аналогично осуществляется запись комплексов действующих значений величин ЭДС и тока. Например, для схемы (рис. 1) уравнение для мгновенных значений напряжений, составленное по второму закону Кирхгофа, запишется следующим образом:

, или .

Переходя к комплексным действующим значениям напряжений, получим:

где R - активное сопротивление цепи,

- комплексное индуктивное сопротивление цепи,

- комплексное емкостное сопротивление цепи.

Множитель свидетельствует о том, что вектор напряжения на индуктивности L опережает вектор тока на . Множитель свидетельствует о том, что вектор напряжения на емкости С отстает от вектора тока на . На активном сопротивлении R векторы напряжения и тока совпадают по направлению.

Величина называется комплексным сопротивлением цепи (см. рис. 1.2), а - ее комплексной проводимостью, где G и B - активная и реактивная составляющие проводимости цепи.

Комплексные числа записываются в одной из следующих форм:

алгебраическая - ;

показательная - ;

тригонометрическая - ;

полярная - .

Геометрически любому комплексному числу можно сопоставить в соответствие точку комплексной плоскости с координатами x=a, y=jb или радиус-вектор длиной A единиц, проведенный из начала координат в точку A и расположенный под углом к оси абсцисс (рис. 1.3). Из рисунка очевидны формулы перехода из одной формы записи комплексного числа к другой:

Алгебраическая форма применяется при сложении и вычитании комплексных чисел, а показательная - при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня. Умножении числа на мнимую единицу сводится к повороту вектора на угол 900 против часовой стрелки, умножение на - к повороту на угол 900 по часовой стрелке, а умножение на -I соответствует повороту на .

Полное комплексное сопротивление цепи и сопротивления ее участков (R, L и С) геометрически связаны треугольником сопротивлений:

а) если , то

б) если , то , где

Расчет электрической цепи в комплексной форме требует записи одного и того же комплексного числа в алгебраической и показательной формах.

Рассмотрим несколько примеров.

Интересное из раздела

Анализ сигналов в радиотехнических цепях
Теоретическая часть должна включать: расчеты спектральной плотности, амплитудного и фазового спектров сигнала и его автокорреляционной фун ...

Анализ и синтез САУ методом корневого годографа
- Изучение системы автоматического регулирования (САР). - Оценка качеств, характеристик САР (устойчивости, ошибки, переходного процесса) по различн ...

Использование специализированных микропроцессоров
Рассмотрим преимущества цифровой обработки сигналов (ЦОС) на сравнении аналоговых и цифровых фильтров. Цифровые фильтры всё чаще находят своё применение в м ...